Linear sy homogeneous Differential mira ny mba voalohany. ohatra ny vahaolana

Mihevitra aho fa tokony hanomboka amin'ny tantaran'ny fitaovana matematika be voninahitra toy ny Differential equations. Toy ny rehetra ny Differential sy integral calculus, equations ireo dia noforonin'ny Newton tamin'ny faramparan'ny taonjato faha-17. Nino izy fa tena zava-dehibe ny zavatra hitany fa voaaro na dia ny hafatra, izay ankehitriny dia azo adika toy izao manaraka izao: "Izay rehetra ny lalàn'ny natiora momba ny Differential equations." Mety toa ny nanita-dresaka, fa marina izany. Ny lalàn'ny fizika, simia, biolojia, dia azo lazaina amin'izany equations.

Fandraisana anjara goavana amin'ny fampandrosoana sy ny fananganana ny teoria ny Differential equations manana kajy ny Euler sy Lagrange. Efa tamin'ny taonjato faha-18, ary lasa izy ireo nahita ny zavatra ankehitriny mianatra amin'ny oniversite ambony antokony.

Vaovao eo amin'ny fianarana niavaka ny Differential equations nanomboka noho ny Anri Puankare. Izy namorona ny "hatsaran'ny kevitra ny Differential equations", izay, miaraka amin'ny teoria ny asan'ny anjara hiovaova be pitsiny ny fototry ny topology - ny siansa ny toerana sy ny fananana.

Inona no Differential equations?

Maro ny olona no matahotra ny andian-teny hoe "Differential mira". Na izany aza, ato amin'ity lahatsoratra ity isika dia niainga amin'ny an-tsipiriany ny fototry ny tena ilaina ity fitaovana matematika, izay raha ny marina tsy ho sarotra araka toa avy amin'ny anaram-boninahitra. Mba manomboka miresaka momba ny voalohany mba Differential-mira, tsy maintsy hatao aloha nahalala ny hevitra fototra izay tena hoe mifandray famaritana izany. Ary Ho manomboka amin'ny Differential.

Differential

Maro ny olona mahafantatra izany teny hatramin'ny sekoly ambaratonga faharoa. Na izany aza, mbola honina eo aminy amin'ny an-tsipiriany. Sary an-tsaina ny sary ny asa. Afaka mampitombo azy io ho toy izany hany ka na dia ny ampahany lasa tsipika mahitsy. Tsy Ho haka hevitra roa izay lavitra akaiky amin'ny vadinao. Ny maha samy hafa ny Flag (x na y) dia faran'izay. Ary mbola atao hoe Differential sy ny tarehin-tsoratra manondro dy (Differential ny y) sy dx (ny Differential ny x). Zava-dehibe ny mahatakatra fa ny Differential tsy ny faratampony sarobidy, ary izany no dikany sy ny tena asany.

Ary ankehitriny, tsy maintsy handinika ny singa manaraka ireto, izay isika dia tokony hanazava ny Differential mira hevitra. Izany - derivative.

derivative

Isika rehetra dia tsy maintsy ho re any am-pianarana sy ity hevitra. Milaza izy ireo fa ny derivative - dia ny tahan'ny fitomboana na fihenana ny asa. Na izany aza, izany famaritana lasa mampisafotofoto kokoa. Aoka isika hiezaka hanazava ny derivative teny ny differentials. Ndao hiverina any amin'ny elanelam-potoana io asa faran'izay amin'ny hevitra roa, izay hita amin'ny ambany indrindra lavitra avy amin'ny hafa. Kanefa na dia any an-dafin'ny lavitra izany asany ny fotoana hanova ny zava-dehibe sasany. Ary mba hamaritana ny fiovana ka miakara amin'ny derivative hitany fa ho voasoratra ho toy ny tahan'ny ny differentials: F (x) '= DF / dx.

Ankehitriny dia ilaina ny mandinika ny fototra fananana ny derivative. Tsy misy afa-telo:

1. Derivative vola na ny fahasamihafana dia azo aseho ho toy ny vola na ny maha samy hafa ny Dérivés: (a + b) '= ny' + b ', ary (AB)' = a'-b '.
2. Ny faharoa dia mifandray amin'ny fananana fampitomboana. Derivative asa - dia ny isan'ny asa iray derivative asa hafa: (a * b) '= ny' * + ny * 'ny b'.
3. Ny derivative ny maha samy hafa azo soratana toy izao manaraka izao mira: (a / b) '= (a' * Ba * b ') / b ^2.

Ireo rehetra ireo endri-javatra ho avy amin'ny fitadiavana vahaolana mora raisina ny mba Differential equations ny mba voalohany.

Koa, dia misy ampahany Dérivés. Aoka hatao hoe manana asa ny Z, izay miankina amin'ny hiovaova X sy Y. Mba manao kajy ny ampahany ity derivative asa, ohatra, in X, dia mila maka ny miova Y ho an'ny tsy tapaka sy mora ny manavaka.

manontolo

Hevitra manan-danja iray hafa - manontolo. Raha ny marina dia ny mifanohitra amin'ny derivative. Integrals maro karazana, fa ny vahaolana tsotra indrindra ny Differential equations, dia mila ny tena misy dikany tsy voafetra integrals.

Noho izany, inona no manontolo? Andeha isika hoe manana fifandraisana tsy ampy amin'ny X. Avy amin'izy io isika maka ny manontolo ary mahazo ny asa F (x) (izany no matetika no lazaina fa faran'izay tsotra), izay ny derivative asa tany am-boalohany. Koa F (x) '= F (x). Izany dia midika ihany koa fa ny manontolo ny derivative dia mitovy ny tany am-boalohany asa.

Amin'ny mpiara-manompo Differential equations dia tena zava-dehibe ny mahatakatra ny hevitra sy ny asa ny integral, satria matetika tsy maintsy hitondra azy ireo hahita vahaolana.

Ny equations dia samy hafa arakaraka ny maha. Ao amin'ny fizarana manaraka dia hijery karazana mba Differential equations voalohany, ary avy eo mianatra ny fomba hamahana azy ireo.

Kilasy ny Differential equations

"Diffury" voazarazara noho ny lamin 'Sampanteny tafiditra ao aminy. Noho izany misy ny voalohany, faharoa, fahatelo na mihoatra ny filaminana. Afaka ihany koa ny tsy hisaraka ho kilasy maro: olon-tsotra sy ny ampahany.

Ao amin'ity lahatsoratra ity, isika dia handinika ny tsotra Differential equations ny mba voalohany. Ohatra sy ny vahaolana hodinihintsika ao amin'ny fizarana manaraka. Tsy mandinika afa-tsy ny TAC satria izany no fahita indrindra karazana equations. Mizara ho subspecies tsotra: amin'ny separable hiovaova, homogeneous sy heterogeneous. Avy eo ianareo dia hianatra ny fomba samy hafa izy ireo avy amin'ny hafa, ary mianatra ny fomba hamahana azy ireo.

Ankoatra izany, ireo equations azo mitambatra, ka rehefa avy mahazo ny rafitra ny Differential equations tamin'ny voalohany mba. Rafitra toy izany, izahay koa hijery sy hianatra ny fomba hamahana.

Nahoana Isika no mandinika afa-tsy ny mba voalohany? Satria ilaina ny manomboka amin'ny tsotra ary farito rehetra miaraka amin'ny Differential equations, ao amin'ny lahatsoratra iray tsy misy azo atao.

Equations amin'ny separable hiovaova

Izany no tsotra indrindra angamba no mba Differential equations voalohany. Ireo no ohatra izay azo soratana toy ny: Y '= F (x) * F (y). Mba hamahana izany mira ilaintsika ny solontena rijan ny derivative toy ny tahan'ny ny differentials: Y '= dy / dx. Izy ihany koa no mahazo ny mira: dy / dx = F (x) * F (y). Ankehitriny isika dia afaka mitodika amin 'ny fomba hamahana ny fitsipika ohatra: hanavaka ny hiovaova ao amin'ny faritra, izany hoe fifadian-kanina nandroso ny miova Y rehetra ao amin'ny faritra izay misy dy, ary koa hanao ny miova X ... Isika mahazo ny mira ny endrika: dy / ampy (y) = F (x) dx, izay tratra amin'ny alalan'ny fanaovana ny integrals ny roa. Aza manadino ny tapaka fa te-hametraka aorian'ny fampidirana.

Ny vahaolana na inona na inona "diffura" - dia asa ny X amin'ny Y (eo amin'ny raharaha), na raha misy isa toetra, ny valiny dia maro. Andeha isika handinika ohatra iray mivaingana ny Mazava ho azy manontolo ny fanapahan-kevitra:

Y '= 2y * ota (x)

Hamindra ny hiovaova ao amin'ny toro-lalana isan-karazany:

dy / y = 2 * ota (x) dx

Ento ny integrals. Rehetra ireo dia hita ao amin'ny latabatry ny integrals manokana. Ary mahazo:

ln (y) = -2 * Kosy (x) + C

Raha ilaina, dia afaka maneho ny "Y" ho toy ny asany ny "X". Ankehitriny dia afaka milaza fa ny Differential mira no voavaha, raha tsy voalaza toe-. Azo voalaza fepetra, ohatra, y (n / 2) = e. Avy eo isika dia solointsika fotsiny ny hasarobidin'ny ireo hiovaova ao amin'ny fanapahan-kevitra sy hahita ny hasarobidin'ny foana. Amin'izao ohatra, dia 1.

Homogeneous voalohany mba Differential equations

Izao ho any amin'ny faritra sarotra kokoa. Homogeneous voalohany mba Differential equations azo soratana amin'ny ankapobeny amin'ny endrika toy ny: Y '= Z (x, y). Tsara homarihina fa ny zo asa roa hiovaova ny fanamiana, ary tsy azo zaraina ho roa miankina amin'ny: Z X sy Z ny y. Jereo raha ny mira dia homogeneous na tsia, dia tena tsotra: manao ny fanoloana X = K * X sy Y = l * y. Ankehitriny dia nanapaka l rehetra. Raha ireo taratasy ireo nandatsaka, dia ny mira homogeneous ary afaka soa aman-tsara ho any amin'ny vahaolana ivoahan'ny. Mijery mialoha, hoy isika hoe: ny fitsipiky ny vahaolana avy amin'ireo ohatra ireo ihany koa ny tena tsotra.

Mila manao ny fanoloana: Y = T (x) * X, izay T - ny asa izay ihany koa ny miankina amin'ny X. Avy eo isika dia afaka maneho ny derivative: Y '= T' (x) * X + t. Solon'i izany rehetra izany eo amin 'ny tany am-boalohany mira sy hanatsotra izany, manana ny ohatry ny fisarahan'ny hiovaova toy ny X t. Voavaha izany ary mahazo ny fiankinan-doha amin'ny T (x). Rehefa nahazo izany, hisolo ny teo aloha fotsiny fanoloana Y = T (x) * X. Avy eo dia mahazo ny fiankinan-doha amin'ny Y tamin'ny X.

Mba hahatonga izany mazava kokoa, dia ho fantatrareo ohatra: x * Y '= yx * y Y / X.

Rehefa nanamarina ny fanoloana ny fihenan'ny rehetra. Noho izany, ny mira dia tena homogeneous. Ary manao fanoloana iray hafa, dia niresaka momba ny: Y = T (x) * X sy Y '= T' (x) * X + T (x). Rehefa avy simplification manaraka mira: t '(x) * X = -e t. Tsy manapa-kevitra ny hahazo ny santionany amin'ny navahan'i hiovaova ary ^{mahazo: mg -t = ln (C *} x). Mila fotsiny isika hanolo T amin'ny alalan'ny e / X (satria raha T * y = X, dia T = y / X), ary mahazo ny ^{valiny: mg -y / X = ln (} X * C).

Linear Differential mira ny voalohany mba

Fotoana izao ny mandinika lohahevitra iray hafa ny sakany. Hijery heterogeneous izahay-mba Differential voalohany equations. Ahoana no maha samy hafa roa teo aloha? Ndao hatrehina izany. Linear mba Differential equations voalohany tao amin'ny ankapobeny endriky ny mira azo teny toy izao: Y '+ g (x) * e = Z (x). Tokony ho nanazava fa Z (x) sy g (x) Mety ho foana ny soatoavina.

Ity misy ohatra: Y '- Y * x = X ^2.

Misy fomba roa hamaha, ary levitra Aoka isika handinika izy roa lahy. Ny voalohany - ny fomba miovaova ny jadona constants.

Mba hamaha ny mira toy izany, dia ilaina ny milaza fa ny voalohany lafiny ankavanana-tanana ny aotra, ary hamaha ny vokatr'izany mira izay araka ny famindrana ny ampahany lasa:

Y '= Y * X;

dy / dx = Y * X;

dy / y = xdx;

ln | y | = X ^2/2 + C;

Y = y ^{x2 / 2} * ^C Y = C ₁ * y ^{x2 / 2.}

Ankehitriny dia ilaina ny manolo ny tsy tapaka C ₁ amin'ny asa V (x), izay ho hitantsika.

Y = V * y ^{x2 / 2.}

Manaova fanoloana derivative:

^{Y '= V' * y x2} / ² -x * V * y ^{x2 / 2.}

Ary solon'i ireo teny tany am-boalohany ho mira:

V '* y ^{x2 / 2} - X * V * y ^{x2 / 2} + X * V * y ^{x2 / 2} = x ^2.

Azonao atao ny mahita fa ao amin'ny ilany havia amin'ny teny roa no nihena. Raha ohatra misy izay tsy hitranga, dia nanao zavatra tsy mety. Manohy ny:

V '* y ^{x2 / 2} = x ^2.

Ankehitriny isika hamaha ny mahazatra mira izay te hampisaraka ny hiovaova:

FA / dx = X ^{2 /} E ^x2 / ^2;

FA = X ² * ny e ^{- x2 / 2} dx.

Mba hanala ny integral, tsy maintsy mampihatra ny fampidirana ny faritra eto. Na izany aza, tsy izany no lohahevitra amin'ity lahatsoratra ity. Raha liana ianao, dia afaka mianatra amin'ny ny mba hanatanterahana zavatra toy izany. Tsy sarotra, ary ampy fahaizana sy ny fiahiana dia tsy mandany fotoana.

Niresaka momba ny fomba faharoa ny vahaolana ny inhomogeneous equations: Bernoulli fomba. Inona no fomba haingana sy mora kokoa - fa miakatra ho any aminareo.

Noho izany, rehefa famahana fomba izany isika, dia mila manao ny fanoloana: Y = K * n. Eto, sy N K - ny sasany miankina amin'ny asan'ny X. Ary ny derivative dia hitovy: Y '= K' * n + K * n '. Mpisolo toerana roa substitutions ao an-mira;

K '* n + K * N ' + X * K * N = X ^2.

Group ny:

K '* n + K * ( n' + X * N) = X ^2.

Ankehitriny dia ilaina ny milaza fa ny aotra, izay any fonon-. Ankehitriny, raha manambatra ny roa noho equations, dia mahazo ny rafitr'ity tontolo ity mba voalohany Differential equations mba ho voavaha:

n '+ X * N = 0;

K '* N = x ^2.

Ny voalohany dia ny fomba manapa-kevitra fitoviana mira ny mahazatra. Mba hanaovana izany, dia mila hampisaraka ny hiovaova:

dn / dx = X * V;

dn / N = xdx.

Mitondra ny manontolo ary mahazo: ln (n) = X ^2/2. Avy eo, raha toa isika maneho N:

N = y ^{x2 / 2.}

Ary solointsika amin'ny vokatry ny faharoa mira mira:

K '* y ^{x2 / 2} = x ^2.

Sy manova, dia mahazo mitovy mira toy ny tamin'ny voalohany fomba:

DK = X ^{2 /} E ^x2 / ^2.

Izahay kosa dia tsy hiresaka bebe kokoa asa. Voalaza fa tamin'ny voalohany mba Differential voalohany equations vahaolana mahatonga olana be. Na izany aza, ny lalina asitrika ao amin'ny lohahevitra dia nanomboka ny hahazo tsara kokoa sy tsara kokoa.

Aiza ny Differential equations?

Very mavitrika Differential equations ampiasaina amin'ny fizika, toy ny efa ho ny lalàna fototra rehetra voasoratra ao Differential endrika, sy ireo rijan, izay hitantsika - ny vahaolana ho equations ireo. Amin'ny simia, izy ireo dia ampiasaina noho ny antony mitovy: ny fototra amin'ny alalan'ny lalàna dia ampy azy ireo. Ao amin'ny biolojia, ny Differential equations dia ampiasaina mba hanahafana ny fitondran-tena ny rafitra, toy ny mpiremby - remby. Afaka ihany koa azo ampiasaina mba hamoronana ohatra ny fananahana, ohatra, zanatany ny zavamiaina bitika dia bitika.

Rehefa Differential equations manampy eo amin'ny fiainana?

Ny valin'io fanontaniana io dia tsotra: na inona na inona. Raha toa ianao ka tsy mpahay siansa na ny injeniera, dia inoana fa ho ilaina. Na dia izany aza, tsy hanimba ny hahafantatra izay ny Differential mira ary izany dia voavaha ho an'ny fampandrosoana ankapobeny. Ary avy eo ny fanontaniana ny lahy na vavy, "Tena Differential mira?" Tsy nametraka anao amin'ny maty farany. Eny ary, raha toa ianao ka misy mpahay siansa na ny injeniera, dia fantatrao ny maha zava-dehibe ity lohahevitra ity na inona na inona siansa. Fa tena zava-dehibe, fa kely any amin'ny fanontaniana hoe "ny fomba hamahana ny Differential mira ny mba voalohany?" foana ianao ho afaka hamaly. Mifanaraka, dia tsara foana rehefa mahatsapa fa izay olona na dia matahotra ny hahita.

Ny tena olana eo amin'ny fianarana

Ny tena olana eo amin'ny fahatakarana ity lohahevitra ity dia ny fampidirana fahazaran-dratsy sy ny fahasamihafana fiasan'ny. Raha toa ianao ka tsy mahazo aina MANAIKY FAHATANY ny Sampanteny sy integrals, dia angamba manan-danja kokoa ny hianatra, hianatra fomba samihafa ny fampidirana sy ny fahasamihafana ary izay ihany vao miroso amin 'ny fandalinana ny zavatra izay efa voalaza ao amin'ny lahatsoratra.

Ny olona sasany no gaga rehefa mahalala fa dx azo hafindra, tahaka ny teo aloha (tany am-pianarana) nilaza fa ny ampahany dy / dx tsy azo saratsarahina. Dia mila mamaky ny boky sy gazety amin'ny derivative sy hahatakatra fa ny toe-tsain'ny kely lavitra be, izay azo fitaovana eo amin'ny famahana equations.

Maro ny olona no tsy tonga dia tonga saina fa ny vahaolana ny Differential equations ny mba voalohany - izany dia matetika ny asa na neberuschiysya integral, ary zava-poana izany dia manome azy ireo be dia be ny olana.

Inona koa no azo nianatra hahatakatra bebe kokoa?

Tena tsara ny manomboka bebe kokoa batisa ho amin'izao tontolo izao ny Differential calculus ny boky manokana, ohatra, amin'ny matematika fanadihadiana ho an'ny mpianatra ny tsy specialties matematika. Afaka avy eo nifindra tany amin'ny boky sy gazety manokana kokoa.

Voalaza fa, ankoatra ny amin'ny Differential, mbola integral equations, ka ho foana ny miezaka ho zavatra ary inona no nianatra.

famaranana

Manantena izahay fa rehefa avy mamaky ity lahatsoratra ity ianao dia efa an-tsaina ny ny Differential equations sy ny fomba handaminana azy ireo tsara ny.

Na ahoana na ahoana, matematika na inona na inona fomba mahasoa antsika eo amin'ny fiainana. Tsy lojika sy mampivelatra ny saina, raha tsy izay ny olona rehetra, toy izay tsy manana tanana.