Differentials - Inona no anton'izao? Ahoana no Amantarana ny Differential ny asa?

Miaraka Sampanteny ny fonctions differentials - izany ny sasany amin'ireo foto-kevitra fototra ny Differential calculus, ny tena fizarana ny matematika fanadihadiana. Araka ny Nifamatotra akaiky, izy roa samy taonjato maro be ampiasaina amin'ny ankamaroan'ny hamaha olana nitranga teo amin'ny Mazava ho azy fa ny siansa sy ny asa ara-teknika.

Ny firongatry ny foto-kevitra momba Differential

Sambany mazava tsara fa toy izany Differential, iray amin'ireo mpanorina (miaraka amin'ny Isaakom Nyutonom) Differential calculus mpahay matematika malaza alemà Gotfrid Vilgelm Leybnits. Talohan'ny izay mpahay matematika tamin'ny taonjato faha-17. ampiasaina indrindra mazava sy manjavozavo hevitra ny sasany faran'izay "tsy ankijanona" na inona na inona fantatra ny asa, misolo tena kely vidy foana, fa tsy mitovy ny aotra, ambany izay manome lanja ny asa tsy afaka ny ho tsotra izao. Noho izany dia dingana iray ihany ny fampidirana ny hevitra ny asa faran'izay mitombo tsikelikely ny hevitra sy ny tsirairay avy mitombo tsikelikely ny asa izay azo aseho eo amin'ny lafiny Sampanteny ny farany. Ary izany dingana nalaina saika niara-lehibe roa etsy ambony ny mpahay siansa.

Miorina amin'ny ny tokony hiatrehana maika azo ampiharina haihetsika olana miatrika ny siansa haingana fampandrosoana orinasa sy ny teknolojia, Newton sy Leibniz namorona ny tsy fomba ny mahita ny asa ny ny tahan'ny fiovana (indrindra fa momba ny milina hafainganam-pandeha ny vatana ny fantatra leha), izay nitarika ho amin'ny fampidirana ny toy izany foto-kevitra, tahaka ny derivative asa sy ny Differential, ary koa nahita ny algorithm olana no mitifitra ny mifanohitra vahaolana araka ny fantatra isan-se (miova) hafainganam-pandeha namakivaky ny mahita ny lalana izay nitondra ny foto-kevitra ny manontolo Ala.

Tamin'ny asan'ny Leibniz sy Newton ny hevitra voalohany dia hita fa ny differentials - dia mitanila ny increment ny fototra kevitra Δh mitombo tsikelikely Δu asa soa aman-tsara izay azo ampiharina mba manao kajy ny hasarobidin'ny ny farany. Amin'ny teny hafa, dia efa nahita fa ny increment asa mety ho na oviana na teboka (ao anatin'ny sehatry ny famaritana) dia naneho ny alalan 'ny derivative na Δu = Y' (x) Δh + αΔh izay α Δh - sisa, nikarakara aotra ho Δh → 0, be haingana kokoa noho ny tena Δh.

Araka ny mpanorina ny matematika fanadihadiana, ny differentials - izany mihitsy ny teny voalohany ao mitombo tsikelikely na inona na inona asany. Na dia tsy manana foto-kevitra mazava tsara fetra sequences dia azon'ny intuitively fa ny Differential sarobidy ny derivative mazàna hiasa rehefa Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(x).

Tsy tahaka Newton, izay voalohany indrindra ny fizika sy matematika fitaovana heverina ho toy ny fitaovana ho an'ny mpanampy amin'ny fianarana ny zava-manahirana ara-batana, Leibniz nandoa ny saina bebe kokoa ho Toolkit ity, anisan'izany ny tontolo hita maso sy takatry matematika marika soatoavina. Izy no nanolo-kevitra ny fitsipika tarehimarika ny asa differentials dy = Y '(x) dx, dx, ary ny tohan-kevitra derivative ny asa ho toy ny fifandraisan'izy Y' (x) = dy / dx.

Ny ankehitriny famaritana

Inona no Differential eo amin'ny matematika maoderina? Efa akaiky mifandray amin'ny foto-kevitra momba ny miova increment. Raha maka ny miova Y voalohany ilaina ny Y y = _1, dia Y = Y _2, ny fahasamihafana Y ₂ ─ Y ₁ atao hoe increment Y sarobidy. Ny increment dia mety ho tsara. ratsy sy aotra. Ny teny hoe "increment" dia voatendry Δ, Δu tsoratra (vakio 'Delta Y') ilazana ny hasarobidin'ny ny increment Y. ka Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Raha ny zava-dehibe Δu jadona asa Y = F (x) dia azo aseho ho Δu = A Δh + α, izay A tsy fiankinan-doha amin'ny Δh, t. E. A = const ho an'ny nomena X, ary ny teny hoe α, rehefa Δh → 0 mazàna ny izany dia haingana kokoa noho ny tena Δh, dia ny voalohany ( "tompo") ny teny hoe mitanila Δh, ary ho an'ny y = F (x) Differential, ilazana dy na ny DF (x) (vakio "Y de", "de EFF avy X"). Ary noho izany differentials - ny "lehibe indrindra" Linear mikasika ny singa ny mitombo tsikelikely Δh asa.

milina fanazavana

Aoka S = ampy (t) - ny elanelana eo amin'ny tsipika mahitsy mampihetsi-po ara-nofo hevitra avy ao amin'ny toerana voalohany (T - Travel fotoana). Increment Δs - no fomba teboka nandritra ny fotoana elanelam-potoana io Δt, ary ny Differential DS = F '(t) Δt - izany lalana, izay hevitra mety hatao ho andro izany Δt, raha nihazona ilay hafainganam-pandeha tsy ampy' (T), tonga amin'ny fotoana T . Rehefa faran'izay Δt DS an'eritreritra lalana mitovy amin'ny ny tena Δs infinitesimally ambony manana filaminana amin'ny fanajana ny Δt. Raha ny hafainganam-pandehan'ny T tamin'izany fotoana dia tsy mitovy ny aotra, ny tokotokony DS sarobidy manome fitongilanana kely teboka.

voafaritra heviny

Aoka ny andalana L dia ny sary ny Y = F (x). Ary Δ X = MQ, Δu = QM "(jereo ny. Sary eto ambany). Tangent MN Δu nanapaka mizara ho roa toko, QN sy NM '. Voalohany ary Δh dia mitanila QN = MQ ∙ TG (zoro QMN) = Δh F '(x), t. E QN dia dy Differential.

Ny tapany faharoa ny fahasamihafana Δu NM'daet ─ dy, rehefa Δh → 0 NM halavan'ny 'na dia mihena haingana kokoa noho ny increment ny tohan-kevitra, izany hoe manana ny lamin' smallness avo noho Δh. Amin'ity tranga ity, raha tsy ampy '(x) ≠ 0 (tsy mirazotra tangent omby) QM'i QN fizarana mitovy; amin'ny teny hafa NM 'mihena haingana (araka ny smallness ny ny ambony) noho ny tanteraka increment Δu = QM'. Izany no hita ao amin'ny Figure (manatona ampahany M'k M NM'sostavlyaet rehetra isan-jato kely kokoa QM 'ampahany).

Noho izany, Differential jadona-tsipiriany ny asany dia mitovy amin'ny increment ny ordinate ny tangent.

Derivative sy Differential

Toe-javatra ao amin'ny teny voalohany maneho hevitra increment asa dia mitovy ny lanjan 'ny derivative F' (x). Araka izany, ny fifandraisana manaraka - dy = F '(x) Δh na ny DF (x) = F' (x) Δh.

Efa fantatra fa ny increment ny tohan-kevitra ny tsy miankina dia mitovy ny Differential Δh = dx. Noho izany, dia afaka manoratra: F '(x) dx = dy.

Nahita (indraindray lazaina fa ny "fanapahan-kevitra") differentials dia tanterahana amin'ny alalan'ny fitsipika mitovy toy ny fiandry ny Dérivés. Ny lisitry ny azy no omena etsy ambany.

Inona no kokoa ny rehetra izao: ny increment ny tohan-kevitra, na ny Differential

Eto dia ilaina ny manao fanazavana sasany. Fanehoana sarobidy F '(x) Differential Δh azo atao, rehefa manao X toy ny tohan-kevitra. Fa ny asa mety ho sarotra, izay X dia mety ho asa ny tohan-kevitra t. Ary ny sarin 'ny Differential fanehoana F' (x) Δh, toy ny fitsipika, tsy misy azo atao; afa-tsy ny zava-Linear fiankinan-doha amin'ny + x = b.

Toy ny raikipohy F '(x) dx = dy, dia tao amin'ny raharaha miankina hevitra X (dia dx = Δh) tamin'ilay raharaha ny parametric fiankinan-doha ny X T, dia Differential.

Ohatra, ny teny hoe 2 x Δh ho an'ny y = x ² ny Differential rehefa X dia tohan-kevitra. Isika izao x = T ² sy handray T tohan-kevitra. Ary Y = x ² = T ^4.

Izany dia narahin'ny (T + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ^2. Noho izany Δh = 2tΔt + Δt ^2. Noho izany: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Io teny tsy mitanila ny Δt, ka noho izany dia izao 2xΔh tsy Differential. Mety ho hita avy amin'ny mira Y = x ² = T ^4. Tsy mitovy dy = 4T ³ Δt.

Raha maka ny teny 2xdx, dia ny Differential Y = X ² na inona na inona hevitra t. Eny tokoa, rehefa X = T ² mahazo dx = 2tΔt.

Noho izany 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. E. Ilay teny differentials ao roa samy hafa mifanaraka hiovaova.

Fanoloana mitombo tsikelikely differentials

Raha F '(x) ≠ 0, dia Δu sy dy mitovy (raha Δh → 0); raha F '(x) = 0 (heviny sy dy = 0), dia tsy mitovy.

Ohatra, raha y = x ^2, dia Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² sy dy = 2xΔh. Raha X = 3, dia ananantsika Δu = 6Δh + Δh ² sy dy = 6Δh izay mitovy noho Δh ² → 0, rehefa x = 0 sarobidy Δu = Δh ² sy dy = 0 dia tsy mitovy.

Io zava-misy, miaraka amin'ny tsotra firafitry ny Differential (m. E. Linearity amin'ny fanajana ny Δh), dia matetika ampiasaina amin'ny tokotokony fikajiana, ny fiheverana fa Δu ≈ dy ho an'ny Δh kely. Tadiavo ny Differential asa dia matetika mora kokoa noho ny manao kajy ny tena zava-dehibe ny increment.

, Ohatra, dia manana metaly goba tamin'ny lelan X = 10.00 cm. On vainafo nohalavaina tamin'ny lelan Δh = 0,001 cm. Ahoana no nitombo goba Boky V? Manana V = x ^2, ka FA = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Febroary 0/01 = 3 (sm ^3). Nitombo ΔV mitovy Differential DV, ka dia ΔV = 3 sm ^3. Full kajy dia hanome ³ ΔV = 10,01 ─ Martsa ¹⁰ = 3.003001. Fa ny vokatry ny rehetra, afa-tsy ny voalohany isa tsy azo antoka; noho izany, dia mbola ho boribory izany hatramin'ny 3 ^cm.sup.3.

Mazava ho azy, io fomba no ilaina raha azo atao ny hanombanana ny vidiny zaraina amin'ny fahadisoana.

Differential asany: ohatra

Aoka isika hiezaka hitady ny Differential ny asa Y = x ^3, nahita ny derivative. Aoka isika hanome ny tohan-kevitra sy mamaritra increment Δu.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Eto, ny coefficient A = 3x ² tsy miankina amin'ny Δh, ka ny voalohany dia mitanila teny Δh, ny mpikambana hafa 3xΔh Δh ² + ³ rehefa Δh → 0 mihena haingana kokoa noho ny increment ny tohan-kevitra. Noho izany, dia mpikambana ao amin'ny 3x ² Δh no Differential ny Y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx na ny F (x ³⁾ = 3x ² dx.

Izay e (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy hitantsika ankehitriny ao ny asa Y = 1 / X ny derivative. Avy eo e (1 / x) / dx = ─1 / X ^2. Dia dy = ─ Δh / X ^2.

Differentials fototra algebraic asa omena eto ambany.

Tokotokony kajikajy mampiasa Differential

Hanombanana ny asa F (x), sy ny derivative F '(x) amin'ny x = ny Matetika no sarotra, fa ny hanao toy izany koa eo amin'ny manodidina an'i x = ny Tsy mora. Dia tonga amin 'ny fanampiana ny tokotokony maneho hevitra

F (a + Δh) ≈ F '(a) Δh + F (a).

Izany dia manome ny tokotokony ilaina ny ny asa amin'ny alalan'ny mitombo tsikelikely rehefa mandeha ny Differential Δh F '(a) Δh.

Noho izany, io dia manome ny tokotokony raikipohy maneho ny asa any amin'ny faran'ny fotoana ny ny ampahany amin 'ny halavany Δh ho toy ny isan'ny ny vidiny eo amin'ny fiaingana ny anjara (x = a) sy ny Differential ao amin' ny fiaingana. -Araka ny marina ny fomba famaritana ny soatoavina noho ny asa eto ambany mampiseho ny sary.

Na izany aza dia fantatra ny tena maneho hevitra ho an'ny ny hasarobidin'ny ny asa X = iray + Δh nomena tamin'ny alalan'ny rijan voafetra mitombo tsikelikely (na,-tsy izany, ilay torolalana nomen 'Lagrange)

F (a + Δh) ≈ F '(ξ) Δh + F (a),

izay ny teboka iray + x = ξ ao amin'ny elanelam-potoana io avy X = ny ho iray + x = Δh, na dia ny toerana tsy fantatra marina. Raikipohy ny tena mamela hanombanana ny fahadisoan'ny ny tokotokony raikipohy. Raha nataony tao an-Lagrange raikipohy ξ = Δh / 2, na dia mitsahatra ho marina, fa manome, ho toy ny fitsipika, ny fomba fiasa tsara lavitra noho ny fanehoan-kevitra tany am-boalohany eo amin'ny lafiny amin'ny Differential.

Fanombanana rijan fahadisoana rehefa mampihatra Differential

Fametrahana Ireo fitaovana , amin 'ny fitsipika, tsy marina, sy hofongorany hatramin'ny fandrefesana antontan-kevitra mifanaraka amin'ny fahadisoana. Izy ireo mampiavaka ny famerana ny fahadisoana tanteraka, na, Raha fintinina, ny fetra fahadisoana - tsara, mazava tsara ny fahadisoana indrindra amin'ny lanjany tanteraka (na indrindra ampitahaina aminy). Mametra ny havany fahadisoana dia antsoina hoe ny quotient azo avy nampisaraka azy io ny tena lanjan'ny ny norefesiny sarobidy.

Aoka marina raikipohy Y = F (x) asa zatra vychislyaeniya y, fa tena ilaina ny X no vokatry ny fandrefesana, ka noho izany dia mitondra ny Y fahadisoana. Avy eo, mba hahita ny mametra fahadisoana tanteraka │Δu│funktsii y, mampiasa ny raiki-pohy

│Δu│≈│dy│ = │ ampy '(x) ││Δh│,

izay │Δh│yavlyaetsya sisim tohan-kevitra diso. │Δu│ boribory be tsy maintsy miakatra, araka ny diso kajy mihitsy dia ny fanoloana ny increment amin'ny Differential kajy.