Ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations. Homogeneous tontolo Linear algebraic equations

Any am-pianarana, isika tsirairay sy nandalina ny mira, azo antoka, equations rafitr'ity tontolo ity. Nefa maro ny olona tsy mahalala fa misy fomba maro mba hamahana azy ireo. Ankehitriny dia ho hitantsika ny fomba tsara rehetra ny famahana ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations, izay ahitana mihoatra ny roa equations.

Tantara

Ankehitriny dia fantatsika fa ny fahaiza-hamahana equations sy ny rafitra Avy tany Babylona sy Ejipta fahiny. Na izany aza, ny fitoviana eo amin'ny endrika nahazatra niseho ho antsika araka ny fisehoan-javatra mitovy ny famantarana "=", izay nampidirana tamin'ny 1556 ny mpahay matematika anglisy firaketana an-tsoratra. Fa izany eo ihany, io no mariky voafidy noho ny antony izany dia midika hoe mitovy fizarana roa mitovy. Eny tokoa, ny tsara indrindra ohatra ny fitoviana tsy hiakatra.

Ny mpamorona ny soratra maoderina sy fanehoana an'ohatra ny tsy fantatra hatraiza, ny Frantsay mpahay matematika Fransua Viet. Na izany aza, dia be ny fanendrena hafa amin'izao fotoana izao. , Ohatra, ny efajoro ny tsy fantatra isa no voatonona ny taratasy Q (Lat "Quadratus".), Ary ny goba - ny taratasy C (Lat "cubus".). Ireo marika ankehitriny toa mahazo aina, nefa izany no tena fomba intuitive hanoratra ny rafitra ny Linear algebraic equations.

Na izany aza, ny tombon-dahiny eo amin'ny fomba nanjaka ny vahaolana dia hoe mpahay matematika efa nandinika tsara ihany ny fakany. Angamba izany dia noho ny zava-misy fa ratsy soatoavina tsy misy fampiharana azo ampiharina. Ny fomba iray na hafa, fa ny voalohany mba hodinihina ratsy fakany nanomboka taorian'ny Italiana matematika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano sy Raphael Bombelli ao amin'ny taonjato faha-16. Ny fijery maoderina, ny tena fomba hamahana quadratic equations (amin'ny alalan'ny discriminant) dia naorina afa-tsy ny taonjato faha-17 amin'ny alalan'ny asan'ny Descartes sy Newton.

Ao amin'ny antenatenan'ny taonjato faha-18, mpahay matematika soisa Gabriel Cramer Nahita fomba vaovao hanaovana ny vahaolana ny rafitra ny Linear equations mora kokoa. Ity fomba ity atao hoe nanaraka azy taty aoriana, ary mandraka androany dia mampiasa azy io. Fa ny fomba ny lahatenin'ny Kramer kely tatỳ aoriana, fa ankehitriny Hodinihintsika Linear equations sy ny vahaolana manokana avy amin'ny rafitra.

Linear equations

Linear equations - ny tsotra mira amin'ny miova (s). Izy ireo isan 'ny algebraic. Linear equations voasoratra ao amin'ny ankapobeny endrika toy izao manaraka izao: a ₁ * X ₁ + ny _{2 *} X ₂ + ... ary _N * X _N = b. Manaiky izany isika, dia mila endrika eo amin'ny fanomanana ny rafitra sy matrices teo.

Ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations

Ny famaritana ny teny ity dia: andian-equations tsy fantatra izay manana iraisana sy ny vahaolana ankapobeny. Matetika, any am-pianarana namaha ny rafitra rehetra miaraka roa na telo mihitsy aza equations. Fa misy ny rafitra amin'ny efatra na mihoatra singa. Andeha aloha hojerentsika ny fomba hahasoratra azy ka tatỳ aoriana dia mety hamaha. Voalohany indrindra, ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations dia tsara kokoa raha hijery ny hiovaova rehetra voasoratra toy ny mifanaraka X Fanondroana: 1,2,3 sy ny sisa. Faharoa, dia tokony hitarika ny equations ho an'ny kanônika teny: a ₁ * X ₁ + ny _{2 *} X ₂ + ... ary _N * X _N = b.

Rehefa avy dingana rehetra izany isika, dia afaka manomboka milaza anao ny fomba hahitana ny vahaolana ny rafitra ny Linear equations. Be dia be fa izay no ho avy amin'ny mora raisina teraka.

teraka

Matrix - latabatra izay ahitana andalana sy tsanganana, ary ny zavatra any amin'ny fihaonan-dalana. Izany dia mety ho zava-dehibe na iray manokana na miova. Amin'ny ankamaroan'ny toe-javatra, mba hanendry izay zavatra teo ambanin'ny milady fandaharana (oh, misy ₁₁ na ₂₃ koa). Ny voalohany dia manondro fanondroana ny laharana isa, ary ny faharoa - ny andry. Ambony matrices ho ambony noho ny hafa ary matematika singa afaka manatanteraka asa isan-karazany. Noho izany, azonao atao:

1) analana ary ampio mitovy habe ny ny latabatra.

2) maro-teraka ho isaina na vectorielle.

3) Transpose: hanova teraka andalana ao amin'ny tsanganana, ary ny andry - milahatra.

4) maro-teraka, raha ny isan'ny andalana dia mitovy ny iray tamin'izy ireo hafa maro andry.

Mba hifanakalo hevitra momba an-tsipiriany teknika rehetra ireo, araka ny izy ireo mahasoa antsika amin'ny ho avy. Subtraction ary koa ny matrices tena tsotra. Koa satria isika mandray mitovy habe teraka, singa tsirairay ny latabatra iray dia mifandray amin'ny singa hafa rehetra. Dia toy izany no hametraka (analana) singa roa ireo (dia zava-dehibe fa efa nijoro teo amin'ny tany iray ihany ao amin'ny matrices). Rehefa ampitomboina ny isan'ny teraka na vectorielle maro ianao tsirairay fotsiny singa-teraka araka ny isa (na vectorielle). Transposition - tena mahaliana dingana. Tena mahaliana ny mahita azy indraindray eo amin'ny fiainana tena izy, ohatra, rehefa ny fanovana ny fironana ny takelaka na telefaonina. Ny sary masina eo amin'ny biraonao dia teraka, ary amin'ny fiovam-toerana, dia transposed ka tonga midadasika kokoa, fa mihena ny haavony.

Andeha isika handinika bebe kokoa ny dingana toy ny teraka fampitomboana. Na dia nilaza taminay, ka tsy ilaina, fa aoka ho fantany fa mbola ilaina. Maro matrices roa ihany no afaka ny ho eo ambanin'ny toe-javatra izay ny isan'ny andry eo amin'ny latabatra iray dia mitovy ny isan'ny andalana hafa. Ento teraka iray andalana singa sy ny singa hafa ny mifanaraka tsangana. Maro izy ireo mba samy izy ary avy eo dia vola (i.e., ohatra, izay vokatry ny singa ₁₁ sy ₁₂ ary ₁₂ sy ₂₂ amin 'ny amin' ny ho mitovy: a * 'ny _{11 12} + ₁₂ * amin' sy _22). Noho izany, zavatra iray latabatra, ary ny fomba mitovy amin'ny azy dia feno bebe kokoa.

Ankehitriny isika dia afaka manomboka ny mandinika ny fomba hamahana rafitra Linear equations.

Gauss

Io foto-kevitra nanomboka hitranga any am-pianarana. Fantatray tsara ny hevitry ny hoe "rafitr'ity tontolo ity equations Linear roa", ary hahafantatra ny fomba hamahana azy ireo. Ahoana anefa raha ny isan'ny equations dia lehibe noho roa? Izany dia hanampy antsika Gauss fomba.

Mazava ho azy, io no fomba mety ampiasaina, raha manao teraka ny rafitra. Fa tsy afaka niova fo izany ary manapa-kevitra eo amin'ny azy manokana.

Noho izany, ny fomba hamahana azy io amin'ny alalan'ny tontolo Linear equations Gauss? Teny an-dalana, na dia fomba izany ka atao hoe nanaraka azy, fa nahita azy io tamin'ny andro fahiny. Gauss manana fandidiana nanatanteraka ny equations, ny farany, ao amin'ny fitambaran'ny vokatry ny echelon endrika. Izany hoe, tokony ho ambony-midina (raha tsara ny mametraka) hatramin'ny taloha tao amin'ny farany iray mira vitsy sisa tsy fantatra. Amin'ny teny hafa, tokony ho azo antoka fa efa nahazo, dia ataovy hoe equations telo: ny voalohany - telo tsy fantatra, ao amin'ny faharoa - roa ao amin'ny fahatelo - iray. Avy eo, avy any amin'ny farany mira, no ahitana voalohany tsy fantatra, hisolo ny sarobidy eo faharoa, na ny voalohany mira, ary koa hahita ny sisa hiovaova roa.

Cramer fitondran'i

Fa ny fampandrosoana ity teknika Tena ilaina ny hahafehy ny fahaiza-manao ny Ankoatra izany, subtraction ny matrices, ary koa fa ilaina ny ho afaka hahita determinants. Noho izany, raha tsy mahazo aina ianao manao izany rehetra, na tsy mahalala, dia ilaina ny mianatra sy ho fiofanana.

Inona no fototry ny fomba ity, sy ny fomba hanaovana izany, mba hahazoana ny rafitra ny Linear equations Cramer? Tena tsotra izany. Mila manorina ny lasitra ny isa (matetika) ny coefficients ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations. Mba hanaovana izany, raiso fotsiny ny isan'ny tsy fantatra, ary handamina ny latabatra araka ny filaharany izy ireo fa voasoratra ao amin'ny rafitra. Raha ny isa teo anoloan'ny dia famantarana "-", dia manoratra ratsy coefficient. Noho izany, dia nanao voalohany teraka ny coefficients ny tsy fantatra, tsy anisan'izany ny isan'ny araka ny mitovy famantarana (mazava ho azy, fa ny mira tsy maintsy nahena ny kanônika endrika, rehefa ny tsara fotsiny ihany ny isa, ary ny ankavia - ny tsy fantatra amin'ny coefficients). Dia mila manao vitsivitsy matrices - ny iray isaky ny miova. Izany no antony, amin'ny voalohany lasitra dia soloina isaky ny tsanganana iray tsanganana isa miaraka amin'ny coefficients taorian'ny famantarana mitovy. Dia toy izany no mahazo matrices vitsivitsy ary avy eo dia hahita ny determinants.

Rehefa avy nahita ny toetra izahay, dia kely. Manana teraka voalohany, ary misy maro matrices iombonana, izay mifandray amin'ny hafa hiovaova. Mba hahazoana ny rafitra vahaolana, dia mizara ny determinant ny vokatry latabatra amin'ny Kilonga determinant ny latabatra. Ny vokatr'izany dia ny lanjan'ny isa iray miova. Toy izany koa, hitantsika rehetra ny tsy fantatra.

fomba hafa

Misy fomba maro mba hahazoana ny vahaolana ny rafitra ny Linear equations. Ohatra, iray antsoina hoe fomba Gauss-Jordana, izay ampiasaina amin'ny fitadiavana vahaolana ny rafitr'ity tontolo ity quadratic equations, ary koa mifandray amin'ny fampiasana ny matrices. Misy ihany koa ny fomba Jacobi ho famahana ny rafitr'ity tontolo ity Linear algebraic equations. Adapts mora foana izy rehetra solosaina ary ampiasaina amin'ny computing.

toe-javatra sarotra

Pitsiny matetika mitranga raha toa ny isan'ny equations dia kely noho ny isan'ny hiovaova. Avy eo dia afaka milaza fa azo antoka, na ny rafitra tsy mifanaraka (izany hoe, tsy misy fakany), na ny isan 'ny fanapahan-kevitra mazàna ny Infinity. Raha manana ny tranga faharoa - dia ilaina ny manoratra ny ankapobeny vahaolana ny rafitr'ity tontolo ity Linear equations. Izany dia ahitana, fara fahakeliny, iray miova.

famaranana

Eto isika dia tonga ny farany. To mamintina: tsy maintsy mahafantatra ny zavatra teraka ny rafitra, nianatra ny ankapobeny hahita vahaolana ny rafitr'ity tontolo ity Linear equations. Koa nihevitra izahay safidy hafa. Nieritreritra izahay hoe ahoana no hamahana rafitra ny Linear equations: Gaussian famongorana sy Cramer ny fitondran'i. Niresaka momba ny toe-javatra sarotra sy ny fomba hafa ny fitadiavana vahaolana.

Raha ny marina, ity olana ity fa tsy hoe zavatra be dia be, ary raha te-hahatakatra bebe kokoa izany, dia manoro hevitra anao mba hamaky bebe kokoa ny boky aman-gazety manokana.