Maclaurin sy lo ny asa sasany

Fandalinana matematika mandroso dia tokony ho mailo fa ny isan'ny hery iray andian-dahatsoratra ao amin'ny elanelam-potoana io ny convergence ny maro amintsika, dia mitohy sy voafetra ny asany ho samihafa. FANONTANIANA: no mety hilaza fa nomena asa ny jadona tsy ampy (x) - dia ny isan'ny hery iray andiany? Izany hoe, ahoana no toe-javatra ny F-ny toro-F (x) dia azo aseho amin'ny alalan'ny andian-dahatsoratra ny fahefana? Ny maha zava-dehibe ity olana ity dia fa azo atao ny hanoloana eo ho eo £ Theological F (x) no isa ny teny vitsivitsy voalohany ny andian-dahatsoratra fahefana, izany hoe ny polynomial. Toy izany ny fanoloana asany dia tena tsotra hoe - polynomial - dia mety sy ny famahana ny olana sasany amin'ny matematika fanadihadiana, izany hoe amin'ny mpiara-manompo integrals rehefa fikajiana Differential equations , sns ...

Misy tokoa, fa ny sasany F-II F (x), izay ny Dérivés ny (n + 1) -th mba azo kajy, anisan'izany ny farany indrindra ao amin'ny manodidina an'i (α - R; X ₀ + R) ny teboka X = α ara-drariny raikipohy dia:

Raikipohy ity dia atao hoe taorian'ny mpahay siansa malaza Brooke Taylor. Maro izay homarinana avy amin'ny iray teo aloha, dia antsoina hoe andian Maclaurin:

Ny fitsipika izany dia ahafahana mamokatra fanitarana ao amin'ny andian Maclaurin:

1. Sampanteny mamaritra ny voalohany, faharoa, fahatelo, ... ny filaminana.
2. Kajy inona no Sampanteny amin'ny x = 0.
3. Record Maclaurin andian-dahatsoratra ho an'ny asa io, ary avy eo dia mba hamaritana ny elanelam-potoana io ny convergence.
4. Fantaro elanelam-potoana io (-R, R), izay ny ampahany amin'ny raikipohy residual Maclaurin

R _N (x) -> 0 for n -> Infinity. Raha misy, dia asa F (x) dia tsy maintsy mitovy ny isan'ny andian-dahatsoratra Maclaurin.

Masìna ianareo, hevero ny Maclaurin andian-dahatsoratra ho an'ny asa tsirairay.

1. Araka izany, ny voalohany ho F (x) = y ^X. Mazava ho azy, fa ny toetra toy izany F-Ia no teny baiko isan-karazany, ary ny tsy ampy ^{(l) (x)} = y ^X, izay K dia mitovy ny rehetra ny voajanahary isa. Mpisolo toerana x = 0. Tsy mahazo ampy ^{(l) (0)} = E ⁰ = 1, K = 1,2 ... Araka ny voalaza teo, maro y ^X Ho toy izao manaraka izao:

2. Maclaurin andian-dahatsoratra ho an'ny asa F (x) = fahotana X. Avy hatrany dia milaza fa ny F-ny toro-tsy fantatra Sampanteny rehetra hanana, afa-tsy F ^'(x) = Kosy X = fahotana (x + n / 2), ^{F' '(x)} = -sin X = fahotana (x + 2 * n / ²⁾ ..., F ^{(k) (x)} = fahotana (x + N * K / 2), izay K dia mitovy ny rehetra tsara integer. Izany hoe, manao kajikajy tsotra, dia afaka manatsoaka hevitra fa ny andian-dahatsoratra ho an'ny F (x) = fahotana X dia ho tahaka izao:

3. Aoka ny handinika iju F-F (x) = Kosy X. Tsy fantatra rehetra mba Sampanteny ny jadona, ary ^{| ampy (l) (x)} | = | Kosy (x + K * n / 2) | <= 1, K = 1,2 ... indray, dia efa nanao ny sasany kajikajy, hitantsika fa ny andian-dahatsoratra ho an'ny F (x) = Kosy X Hijery toy izao:

Noho izany, efa voatanisa ny lafiny manan-danja indrindra izay azonao hitarina ao amin'ny andian-dahatsoratra Maclaurin, fa mameno ny Taylor andian nandritra ny asany. Ankehitriny isika dia lisitra azy koa. Tokony ihany koa ny manamarika fa Taylor andian-dahatsoratra sy Maclaurin andian-dahatsoratra dia ampahany manan-danja ao amin'ny andian-atrikasa fanapahan-kevitra ao ambony matematika. Noho izany, Taylor andian-dahatsoratra.

1. Ny voalohany dia andiana F-II F (x) = ln (1 + x). Toy ny tamin'ny teo aloha ohatra, fa izany no tsy ampy (x) = ln (1 + x) dia azo aforitra maro, amin'ny fampiasana ny ankapobeny Maclaurin endriky ny andian-dahatsoratra. fa ity endri-javatra azo nahazo Maclaurin mora kokoa. Fampidirana ny voafaritra andian-dahatsoratra, dia mahazo maro ho an'ny F (x) = ln (1 + x) ny santionany:

2 Ary ny faharoa, izay ho farany ato amin'ity lahatsoratra ity, dia ho andian-dahatsoratra ho an'ny F (x) = arctg X. Fa X an'ny elanelam-potoana io [-1; 1] dia manan-kery lo:

Izay ihany. Ato amin'ity lahatsoratra ity no nanaovana fanadihadiana ny be mpampiasa indrindra Taylor andian-dahatsoratra sy Maclaurin andian-dahatsoratra ao amin'ny matematika ambony, indrindra fa ny ara-toekarena sy ara-teknika kolejy.